লোকনাথ ম্যাথ টিচিং হোম
উদয়ন কোচিং, ঝড়কা ও মেইন রোড, ঘাটাইল, টাংগাইল।
উচ্চতর গণিত – বহুনির্বাচনী প্রশ্ন (MCQ)
১. $$x^2 = -3y$$ পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র কত?
ক) (0, 3/4) খ) (3/4, 0) গ) $$(0, -3/4)$$ ঘ) (-3/4, 0)
💡 উত্তর ও ব্যাখ্যা
হিন্টস: পরাবৃত্তের সমীকরণটিকে $$x^2 = 4ay$$ এর আদর্শ রূপের সাথে তুলনা করুন।
২. $$x^2+ 5y = 0$$ পরাবৃত্তের নিয়ামকের সমীকরণ কোনটি?
ক) $$4y+5=0$$ খ) $$4x+5=0$$ গ) $$4y-5=0$$ ঘ) $$4x-5=0$$
💡 উত্তর ও ব্যাখ্যা
হিন্টস: প্রথমে a এর মান বের করুন এবং তারপর নিয়ামকের সমীকরণ $$y = -a$$ তে বসান।
৩. $$y=2x+c$$ রেখাটি $$y^2=8x$$ পরাবৃত্তকে স্পর্শ করলে c এর মান কত?
ক) 1 খ) 2 গ) 4 ঘ) 8
💡 উত্তর ও ব্যাখ্যা
হিন্টস: সরলরেখাটি পরাবৃত্তের স্পর্শক হওয়ার প্রধান শর্ত $$c = a/m$$ ব্যবহার করুন।
৪. $$x^2=16y$$ কনিকের উৎকেন্দ্রিকতা কত?
ক) $$e=1$$ খ) $$e=0$$ গ) $$e<1$$ ঘ) $$0💡 উত্তর ও ব্যাখ্যা
হিন্টস: সমীকরণটি দেখে আগে চিহ্নিত করুন এটি কোন ধরণের কনিক (এটি একটি পরাবৃত্ত)।
৫. $$Cos^{-1}(-1/2)$$ এর মূখ্যমান কত?
ক) $$\pi/2$$ খ) $$-2\pi/3$$ গ) $$2\pi/3$$ ঘ) $$\pi/3$$
💡 উত্তর ও ব্যাখ্যা
হিন্টস: বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের সূত্র $$Cos^{-1}(-x) = \pi – Cos^{-1}x$$ মনে করার চেষ্টা করুন।
৬. $$tan(cos^{-1}(1/\sqrt{3}))$$ এর মান কত?
ক) $$\pi/2$$ খ) $$1/\sqrt{2}$$ গ) 2 ঘ) $$\sqrt{2}$$
💡 উত্তর ও ব্যাখ্যা
হিন্টস: একটি সমকোণী ত্রিভুজ কল্পনা করে লম্ব, ভূমি ও অতিভুজের মানগুলো বের করে নিন।
৭. $$Sin(\pi/2-cos^{-1}x) = ?$$
ক) $$Sinx$$ খ) $$x$$ গ) $$\sqrt{1-x^2}$$ ঘ) $$\sqrt{1+x^2}$$
💡 উত্তর ও ব্যাখ্যা
হিন্টস: পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত $$Sin(\pi/2 – \theta)$$ সমান কী হয়, তা চিন্তা করুন।
৮. $$Sec \theta=-2$$ এবং $$\pi/2<\theta<\pi$$ হয়, তবে $$\theta$$ এর মান কত?
ক) $$-2\pi/3$$ খ) $$2\pi/3$$ গ) $$-\pi/3$$ ঘ) $$\pi/3$$
💡 উত্তর ও ব্যাখ্যা
হিন্টস: শর্ত অনুযায়ী কোণটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত। $$\pi – \alpha$$ আকারে কোণের মান হিসাব করুন।
৯. $$tan^{-1} 2+tan^{-1}(1/2) = ?$$
ক) $$\pi/2$$ খ) $$\pi/4$$ গ) $$\pi$$ ঘ) $$2\pi$$
💡 উত্তর ও ব্যাখ্যা
হিন্টস: প্রথম পদটিকে $$cot^{-1}$$ এ রূপান্তর করে $$tan^{-1}x + cot^{-1}x = \pi/2$$ সূত্রটি প্রয়োগ করুন।
১০. $$\sqrt{2}sin \theta+1=0$$ এর সমাধান কোনটি?
ক) $$n\pi+(-1)^n\pi/4$$ খ) $$n\pi+(-1)^n(-\pi/4)$$ গ) $$2n\pi\pm\pi/4$$ ঘ) $$2n\pi\pm 3\pi/4$$
💡 উত্তর ও ব্যাখ্যা
হিন্টস: প্রথমে সমীকরণ থেকে $$sin \theta$$ এর মান বের করুন এবং sin এর সাধারণ সমাধানের সূত্রটি লিখুন।
১১. $$cos \theta+sin \theta=\sqrt{2}$$ হলে $$\theta$$ এর মান কত?
ক) $$2n\pi + \pi/4$$ খ) $$(2n-1)\pi$$ গ) $$2n\pi – \pi/4$$ ঘ) $$(2n+1)\pi$$
💡 উত্তর ও ব্যাখ্যা
হিন্টস: সমীকরণের উভয়পক্ষকে $$\sqrt{1^2+1^2}$$ বা $$\sqrt{2}$$ দিয়ে ভাগ করে নিন।
১২. $$f(x)=sin x$$ এর রেঞ্জ নিচের কোনটি?
ক) [0,1] খ) [1,0] গ) [1,1] ঘ) [-1,1]
💡 উত্তর ও ব্যাখ্যা
হিন্টস: সাইন ফাংশনের সর্বোচ্চ এবং সর্বনিম্ন মান কত হতে পারে তা মনে করুন।
১৩. $$\begin{vmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -4 & 3 & -5 \\ 7 & 6 & -8 \end{vmatrix}$$ নির্ণায়কের (2,3) তম সহগুণক কত?
ক) -95 খ) -19 গ) 19 ঘ) 95
💡 উত্তর ও ব্যাখ্যা
হিন্টস: সহগুণক বের করার সূত্র $$(-1)^{r+c} \times$$ অনুরাশি প্রয়োগ করুন।
১৪. $$\begin{bmatrix} 2 & x \\ y-1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 3+y \\ 4 & 2 \end{bmatrix}$$ হলে $$(x,y) = ?$$
ক) (8,5) খ) (-6,3) গ) (-8,5) ঘ) (6,3)
💡 উত্তর ও ব্যাখ্যা
হিন্টস: উভয় ম্যাট্রিক্সের একই অবস্থানে থাকা ভুক্তিগুলোকে সমান ধরে সমীকরণ তৈরি করুন।
১৫. নির্ণায়কের দুইটি সারি বা কলাম সদৃশ হলে ঐ নির্ণায়কের মান কত হবে?
ক) 0 খ) 1 গ) 2 ঘ) 3
💡 উত্তর ও ব্যাখ্যা
হিন্টস: এটি নির্ণায়কের অন্যতম মৌলিক একটি ধর্ম।
১৬. A ম্যাট্রিক্সের ক্রম $$P \times n$$ এবং B ম্যাট্রিক্সের ক্রম $$n \times m$$ হলে AB ম্যাট্রিক্সের ক্রম কি হবে?
ক) $$n \times p$$ খ) $$m \times n$$ গ) $$p \times m$$ ঘ) $$n \times m$$
💡 উত্তর ও ব্যাখ্যা
হিন্টস: ম্যাট্রিক্স গুণনের পর নতুন ম্যাট্রিক্সের সারি প্রথমটি থেকে এবং কলাম দ্বিতীয়টি থেকে আসে।
১৭. $$A = \begin{bmatrix} 5 & 5 \\ 9 & 7 \end{bmatrix}$$ হলে $$A^{-1}$$ কোনটি?
ক) $$\begin{bmatrix} -7/10 & 1/2 \\ 9/10 & -1/2 \end{bmatrix}$$ খ) $$\begin{bmatrix} 9/10 & 1/2 \\ 7/10 & 2 \end{bmatrix}$$ গ) $$\begin{bmatrix} -9/10 & 1/2 \\ 7/10 & -1/2 \end{bmatrix}$$ ঘ) $$\begin{bmatrix} 9/10 & 1/10 \\ -7/10 & 1/2 \end{bmatrix}$$
💡 উত্তর ও ব্যাখ্যা
হিন্টস: ২x২ ম্যাট্রিক্সের ক্ষেত্রে প্রধান কর্ণের ভুক্তিগুলোর জায়গা বদল করুন এবং অপর কর্ণের ভুক্তিগুলোর চিহ্ন বদল করুন।
১৮. $$\begin{bmatrix} 5 & 6 & x \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix}$$ ম্যাট্রিক্সটির নির্ণায়ক -4 হলে x এর মান কত?
ক) 7 খ) 6 গ) 8 ঘ) 1
💡 উত্তর ও ব্যাখ্যা
হিন্টস: যেকোনো একটি সারি বা কলাম (বিশেষত প্রথম সারি) বরাবর নির্ণায়কটি বিস্তার করুন।
১৯. $$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 4 & 4 & 4 \\ 3 & 1 & a \end{bmatrix}$$ ম্যাট্রিক্সের ট্রেসের মান 8 হলে a এর মান কত?
ক) 5 খ) 3 গ) 2 ঘ) 4
💡 উত্তর ও ব্যাখ্যা
হিন্টস: ম্যাট্রিক্সের প্রধান কর্ণে অবস্থিত ভুক্তিগুলোর যোগফলই হলো ট্রেস।
২০. a এর মান কত হলে $$\begin{bmatrix} -4 & 0 & -2 \\ 0 & 5 & a \\ -2 & 4 & 0 \end{bmatrix}$$ ম্যাট্রিক্সটি প্রতিসম হবে?
ক) 4 খ) -4 গ) -2 ঘ) 0
💡 উত্তর ও ব্যাখ্যা
হিন্টস: প্রতিসম ম্যাট্রিক্সের ক্ষেত্রে প্রধান কর্ণের সাপেক্ষে প্রতিসম ভুক্তিগুলো সমান হয়।
২১. $$A = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}$$ হলে $$A^{-1} = ?$$
ক) $$\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{bmatrix}$$ খ) $$\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -2 & -1 \end{bmatrix}$$ গ) $$\begin{bmatrix} -1 & -1 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$$ ঘ) $$\begin{bmatrix} -2 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$$
💡 উত্তর ও ব্যাখ্যা
হিন্টস: ম্যাট্রিক্সটির নির্ণায়কের মান বের করে অ্যাডজয়েন্ট ম্যাট্রিক্সকে তা দিয়ে ভাগ করুন।
২২. $$\begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$$ ম্যাট্রিক্সটির বিপরীত ম্যাট্রিক্সের ট্রেস কত?
ক) 9/8 খ) 8/9 গ) 8 ঘ) 9
💡 উত্তর ও ব্যাখ্যা
হিন্টস: প্রথমে বিপরীত ম্যাট্রিক্সটি নির্ণয় করুন, তারপর তার প্রধান কর্ণের মানগুলো যোগ করুন।
২৩. $$r=2 cos \theta$$ সমীকরণটি কি নির্দেশ করে?
ক) সরলরেখা খ) পরাবৃত্ত গ) উপবৃত্ত ঘ) বৃত্ত
💡 উত্তর ও ব্যাখ্যা
হিন্টস: সমীকরণের উভয়পক্ষে r দিয়ে গুণ করে কার্তেসীয় স্থানাঙ্কে রূপান্তর করুন।
২৪. একটি ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র (2,0) এবং দুইটি শীর্ষ (1,2) ও (3,1) হলে তৃতীয় শীর্ষ কত?
ক) (2,3) খ) (-2,3) গ) (2,-3) ঘ) (-2,-3)
💡 উত্তর ও ব্যাখ্যা
হিন্টস: ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয়ের সূত্র $$(x_1+x_2+x_3)/3 = x$$ ব্যবহার করুন।
২৫. $$2x-3y+6=0$$ রেখাটি x অক্ষকে যে বিন্দুতে ছেদ করে তার স্থানাঙ্ক কত?
ক) (-3,0) খ) (0,-2) গ) (0,2) ঘ) (3,0)
💡 উত্তর ও ব্যাখ্যা
হিন্টস: কোনো রেখা x অক্ষকে ছেদ করলে ঐ বিন্দুতে y এর মান শূন্য হয়।
২৬. $$(-1,\sqrt{3})$$ বিন্দুটির পোলার স্থানাঙ্ক কত?
ক) $$(2, 2\pi/3)$$ খ) $$(2, \pi/3)$$ গ) $$(2, 5\pi/6)$$ ঘ) $$(2, \pi/6)$$
💡 উত্তর ও ব্যাখ্যা
হিন্টস: বিন্দুটি কোন চতুর্ভাগে অবস্থিত তা লক্ষ্য করে আর্গুমেন্ট নির্ণয়ের সূত্র নির্বাচন করুন।
২৭. $$(-\sqrt{3},1)$$ কার্তেসীয় স্থানাঙ্কের পোলার স্থানাঙ্ক কোনটি?
ক) $$(2, 160^\circ)$$ খ) $$(2, 150^\circ)$$ গ) $$(3, 160^\circ)$$ ঘ) $$(4, 150^\circ)$$
💡 উত্তর ও ব্যাখ্যা
হিন্টস: এটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগের বিন্দু, তাই আর্গুমেন্ট হবে $$180^\circ – \tan^{-1}(|y/x|)$$।
২৮. $$Cos (2n\pi-30^\circ)$$ কত?
ক) $$-\sqrt{3}/2$$ খ) $$\sqrt{3}/2$$ গ) $$-1/2$$ ঘ) $$1/2$$
💡 উত্তর ও ব্যাখ্যা
হিন্টস: $$Cos(2n\pi – \theta) = Cos(-\theta) = Cos \theta$$ সূত্রটি স্মরণ করুন।
২৯. $$Sin 2x$$ এর রেঞ্জ কোনটি?
ক) [-1,1] খ) [2,2] গ) [-2,2] ঘ) (-2,2)
💡 উত্তর ও ব্যাখ্যা
হিন্টস: কোণের মান যাই হোক না কেন, সাইন ফাংশনের বিস্তৃতি নির্দিষ্ট সীমার মধ্যেই থাকে।
৩০. $$Cos 10^\circ=P$$ হলে $$Sin 10^\circ$$ এর মান কোনটি?
ক) $$2P-1$$ খ) $$2P$$ গ) $$2P\sqrt{1-P^2}$$ ঘ) $$\sqrt{1-P^2}$$
💡 উত্তর ও ব্যাখ্যা
হিন্টস: ত্রিকোণমিতির মৌলিক অভেদ $$Sin^2\theta + Cos^2\theta = 1$$ ব্যবহার করুন।
৩১. নিচের কোনটি সঠিক?
ক) $$Sin(-\theta)=Sin \theta$$ খ) $$Sin(-\theta)=tan \theta$$ গ) $$Sec(-\theta)=Sec \theta$$ ঘ) $$Cosec(-\theta)=Cosec \theta$$
💡 উত্তর ও ব্যাখ্যা
হিন্টস: ঋণাত্মক কোণের ক্ষেত্রে কোন দুটি ত্রিকোণমিতিক অনুপাত তাদের ধনাত্মক মান বজায় রাখে?
৩২. $$Cosec(-330^\circ)$$ এর মান কত?
ক) -2 খ) $$-2/\sqrt{3}$$ গ) $$2/\sqrt{3}$$ ঘ) 2
💡 উত্তর ও ব্যাখ্যা
হিন্টস: প্রথমে ঋণাত্মক চিহ্নটি বের করে আনুন, তারপর $$330^\circ$$ কে $$360^\circ – 30^\circ$$ আকারে লিখুন।
৩৩. $$A+B=\pi/2$$ হলে নিম্নের কোনটি সঠিক?
ক) $$tan A=tan B$$ খ) $$tan A=-tan B$$ গ) $$tan A \cdot tan B=-1$$ ঘ) $$tan A \cdot tan B=1$$
💡 উত্তর ও ব্যাখ্যা
হিন্টস: যেকোনো একটি কোণকে অপরটির মাধ্যমে প্রকাশ করে উভয়পক্ষে tan নিন।
৩৪. $$tan \beta=q/p$$ হলে $$tan 2\beta$$ এর মান কত?
ক) $$\frac{2pq}{p^2-q^2}$$ খ) $$\frac{2PQ}{P^2+Q^2}$$ গ) $$\frac{p^2+q^2}{p^2-q^2}$$ ঘ) কোনটিই নয়
💡 উত্তর ও ব্যাখ্যা
হিন্টস: গুণিতক কোণের সূত্র $$tan 2\theta = \frac{2tan\theta}{1-tan^2\theta}$$ ব্যবহার করুন।
৩৫. $$Cosec(-660^\circ)$$ এর মান কোনটি?
ক) $$2/\sqrt{3}$$ খ) $$-\sqrt{3}/2$$ গ) $$-2/\sqrt{3}$$ ঘ) $$\sqrt{3}/2$$
💡 উত্তর ও ব্যাখ্যা
হিন্টস: $$660^\circ$$ কে $$360^\circ$$ এর গুণিতকের সাহায্যে ভাঙার চেষ্টা করুন।
৩৬. $$cot \theta=-\frac{5}{2\sqrt{6}}$$ এবং $$Sin \theta$$ ধনাত্মক হলে $$sec \theta$$ এর মান কত?
ক) $$-5/7$$ খ) $$7/5$$ গ) $$5/7$$ ঘ) $$-7/5$$
💡 উত্তর ও ব্যাখ্যা
হিন্টস: যেহেতু cot ঋণাত্মক এবং sin ধনাত্মক, তাই কোণটি অবশ্যই দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত।
৩৭. $$cos \theta=x$$ হলে $$Cos 2\theta$$ এর মান কোনটি?
ক) $$2x\sqrt{1-x^2}$$ খ) $$2x^2-1$$ গ) $$1-2x^2$$ ঘ) $$2x+1$$
💡 উত্তর ও ব্যাখ্যা
হিন্টস: $$Cos 2\theta$$ কে শুধুমাত্র $$Cos \theta$$ এর মাধ্যমে প্রকাশ করার সূত্রটি লিখুন।
৩৮. $$Z_1=1+2i$$, $$Z_2=3+i$$ হলে $$\overline{Z_1}-Z_2$$ এর মডুলাস কত?
ক) $$\sqrt{5}$$ খ) $$\sqrt{13}$$ গ) $$\sqrt{25}$$ ঘ) 5
💡 উত্তর ও ব্যাখ্যা
হিন্টস: প্রথমে $$Z_1$$ এর অনুবন্ধী (conjugate) বের করুন, তারপর তা থেকে $$Z_2$$ বিয়োগ করুন।
৩৯. নিচের কোনটি সঠিক?
ক) $$Z \subset N$$ খ) $$N \subset R$$ গ) $$Q \cap Q’ = R$$ ঘ) $$Z \in R$$
💡 উত্তর ও ব্যাখ্যা
হিন্টস: স্বাভাবিক সংখ্যা, পূর্ণ সংখ্যা এবং বাস্তব সংখ্যার সেটের মধ্যকার সম্পর্কটি যাচাই করুন।
৪০. $$n \in \mathbb{N}$$ হলে $$i^{4n+5}$$ এর মান কত?
ক) 1 খ) -1 গ) $$i$$ ঘ) $$-i$$
💡 উত্তর ও ব্যাখ্যা
হিন্টস: সূচকের নিয়ম অনুসারে এটিকে ভেঙে $$i^{4n} \times i^5$$ আকারে লিখুন।
৪১. 1 এর ঘনমূল তিনটির- (i) যোগফল = 0, (ii) গুণফল = 1, (iii) জটিল মূল দুইটির একটি অপরটির বর্গ। নিচের কোনটি সঠিক?
ক) i, ii খ) i, iii গ) ii, iii ঘ) i, ii, iii
💡 উত্তর ও ব্যাখ্যা
হিন্টস: ১ এর জটিল ঘনমূল $$\omega$$ এর বৈশিষ্ট্যগুলো মনে করুন।
৪২. $$Z=3i$$ হলে Z দ্বারা গঠিত বিন্দু কোনটি?
ক) (0,-3) খ) (0,3) গ) (-3,0) ঘ) (3,0)
💡 উত্তর ও ব্যাখ্যা
হিন্টস: জটিল সংখ্যা $$x+iy$$ কে স্থানাঙ্ক জ্যামিতিতে (x, y) বিন্দু হিসেবে প্রকাশ করা যায়।
৪৩. $$i^n=-1$$ হলে $$i^{-39}$$ এর মান কত?
ক) -1 খ) 1 গ) $$i$$ ঘ) $$-i$$
💡 উত্তর ও ব্যাখ্যা
হিন্টস: এটিকে $$1/i^{39}$$ লিখে 39 কে 4 দ্বারা ভাগ করে অবশিষ্ট ঘাতটি বের করুন।
৪৪. $$i^7+i^9+i^{12}+i^{13}$$ এর মান কত?
ক) 1 খ) -1 গ) $$1+i$$ ঘ) 0
💡 উত্তর ও ব্যাখ্যা
হিন্টস: প্রতিটি পদের ঘাতকে ৪ দিয়ে ভাগ করে ভাগশেষ অনুযায়ী i এর মানগুলো বসিয়ে যোগ করুন।
৪৫. $$Z=-1+i$$ হলে Z এর আর্গুমেন্ট কত?
ক) $$-3\pi/4$$ খ) $$-5\pi/4$$ গ) $$3\pi/4$$ ঘ) $$\pi/4$$
💡 উত্তর ও ব্যাখ্যা
হিন্টস: জটিল সংখ্যাটি ২য় চতুর্ভাগে অবস্থিত। আর্গুমেন্ট নির্ণয়ের সূত্র ব্যবহার করুন।
৪৬. $$\frac{2+3i}{2-i}=A+iB$$, যদি A ও B বাস্তব সংখ্যা হয়, তবে B এর মান কত?
ক) -8/5 খ) 1/5 গ) -1/5 ঘ) 8/5
💡 উত্তর ও ব্যাখ্যা
হিন্টস: ভগ্নাংশটির হরের অনুবন্ধী (conjugate) দিয়ে লব ও হর উভয়কে গুণ করুন।
৪৭. $$3x^2-5x+1=0$$ এর মূলদ্বয় $$\alpha, \beta$$ হলে $$\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}$$ এর মান কত?
ক) 5 খ) -5 গ) 1/5 ঘ) -1/5
💡 উত্তর ও ব্যাখ্যা
হিন্টস: প্রদত্ত রাশিটিকে লসাগু করে $$\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}$$ আকারে প্রকাশ করুন।
৪৮. $$f(x)=x(2a-x)$$ এর সর্বোচ্চ মান কোনটি?
ক) $$a$$ খ) $$a^2$$ গ) $$2a$$ ঘ) $$2a^2$$
💡 উত্তর ও ব্যাখ্যা
হিন্টস: ফাংশনটির প্রথম অন্তরজ (derivative) নির্ণয় করে তাকে শূন্য ধরে x এর মান বের করুন।
৪৯. $$3x^2-px+4=0$$ সমীকরণের একটি মূল অপরটির তিনগুণ হলে P এর মান কোনটি?
ক) $$\pm 3$$ খ) $$\pm 4$$ গ) $$\pm 2\sqrt{2}$$ ঘ) 8
💡 উত্তর ও ব্যাখ্যা
হিন্টস: সমীকরণের মূল দুটিকে $$\alpha$$ এবং $$3\alpha$$ ধরে মূলদ্বয়ের যোগফল ও গুণফলের সূত্র ব্যবহার করুন।
৫০. $$2x^2-x+K=0$$ সমীকরণের মূলদ্বয় জটিল হবে যখন-
ক) $$K>-1/8$$ খ) $$K<-1/8$$ গ) $$K>1/8$$ ঘ) $$K<1/8$$
💡 উত্তর ও ব্যাখ্যা
হিন্টস: দ্বিঘাত সমীকরণের মূল জটিল হওয়ার শর্ত হলো এর নিশ্চায়ক $$b^2-4ac < 0$$ হতে হবে।
৫১. $$5x^2-6=0$$ এর মূলগুলি কি কি?
ক) $$-2,3$$ খ) $$2,-3$$ গ) $$2,3$$ ঘ) $$\pm\sqrt{6/5}$$
💡 উত্তর ও ব্যাখ্যা
হিন্টস: সরাসরি $$x^2$$ এর মান বের করে উভয়পক্ষে বর্গমূল করুন।
৫২. $$x^2-kx+2=0$$ সমীকরণের একটি মূল 3 হলে- (i) অপর মূল 2/3 , (ii) K এর মান $$11/3$$, (iii) প্রদত্ত সমীকরণের নিশ্চায়ক=7. নিচের কোনটি সঠিক?
ক) i, ii খ) i, iii গ) ii, iii ঘ) i, ii, iii
💡 উত্তর ও ব্যাখ্যা
হিন্টস: মূলদ্বয়ের গুণফল $$c/a = 2$$ ব্যবহার করে অপর মূলটি বের করুন, তারপর যোগফলের সূত্রের সাহায্যে K নির্ণয় করুন।
৫৩. $$x^2-2x+k=0$$ সমীকরণের মূলগুলি- (i) সমান হবে যখন $$K=2$$, (ii) অবাস্তব হবে যখন $$K>2$$, (iii) $$K=-3$$ এর জন্য বাস্তব ও অসমান হবে। নিচের কোনটি সঠিক?
ক) i, ii খ) i, iii গ) ii, iii ঘ) i, ii, iii
💡 উত্তর ও ব্যাখ্যা
হিন্টস: প্রদত্ত সমীকরণটির নিশ্চায়ক $$b^2-4ac$$ বের করে অপশনগুলোতে দেওয়া K এর মানগুলোর জন্য এর অবস্থা যাচাই করুন।
৫৪. মূলদ সহগ বিশিষ্ট কোনো সমীকরণের একটি মূল $$2+\sqrt{3}i$$ হলে অপর মূলটি কী হবে?
ক) $$2-\sqrt{3}i$$ খ) $$\sqrt{3}-2i$$ গ) $$-2-\sqrt{3}i$$ ঘ) কোনটিই নয়
💡 উত্তর ও ব্যাখ্যা
হিন্টস: মূলদ সহগ বিশিষ্ট সমীকরণে জটিল মূলগুলো সর্বদা অনুবন্ধী (conjugate) জোড়ায় জোড়ায় থাকে।
৫৫. $$x^2+x+1=0$$ সমীকরণের মূলদ্বয় $$\alpha, \beta$$ হলে $$\sum \alpha^2$$ এর মান কত?
ক) -1 খ) 1 গ) 0 ঘ) 2
💡 উত্তর ও ব্যাখ্যা
হিন্টস: $$\sum \alpha^2$$ বলতে $$\alpha^2+\beta^2$$ বোঝায়। এর মান বের করতে $$(\alpha+\beta)^2 – 2\alpha\beta$$ সূত্রটি প্রয়োগ করুন।